Question

【题目】双曲线绕坐标原点旋转适当角度可以成为函数的图象，关于此函数有如下四个命题：① 是奇函数；② 的图象过点或；③ 的值域是；④ 函数有两个零点；则其中所有真命题的序号为________.

Answer 1

【答案】①②

【解析】

根据双曲线关于坐标原点对称,则旋转后得到的函数的图象也关于原点对称,即有为奇函数；根据双曲线的顶点、渐近线方程可得旋转后的的图象的渐近线,再由对称性可得的图象过或；根据的图象按逆时针旋转位于一三象限由图象可得顶点为点,不是极值点,则的值域不是,也不是

；分的图象所在的象限讨论,得出的图象与直线没有交点,函数没有零点.

解：双曲线关于坐标原点对称,

可得旋转后得到的函数的图象关于原点对称,

即有为奇函数,故①对；

由双曲线的顶点为,渐近线方程为,

可得的图象的渐近线为和,

图象关于直线对称,

可得的图象过或.

由对称性可得的图象按逆时针旋转位于—三象限；

按顺时针旋转位于二四象限；故②对；

的图象按逆时针旋转位于一三象限由图象可得顶点为点或..

不是极值点,则的值域不是；

的图象按顺时针旋转位于二四象限,由对称性可得的值域也不是

,故③不对；

当的图象位于一三象限时,的图象与直线有两个交点,函数有两个零点；

当的图象位于二四象限时,的图象与直线没有交点,函数没有零点故④错.

故真命题为：①②

故答案为：①②