Question

17．已知函数f（x）=4x+$\frac{a}{x}$+b（a，b∈R）为奇函数．
（Ⅰ）若f（1）=5，求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）当a=-2时，对任意x∈[1，4]上，函数y=f（x）的图象在函数y=t的图象的下方，求实数t的范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用奇函数的定义求出b，利用f（1）=5，求出a，即可求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）当a=-2时，f（x）=4x-$\frac{2}{x}$，x∈[1，4]，函数单调递增，求出函数的最大值，即可求实数t的范围．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=4x+$\frac{a}{x}$+b（a，b∈R）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），即-4x-$\frac{a}{x}$+b=-4x-$\frac{a}{x}$-b，
∴b=0，
∵f（1）=5，
∴4+a=5，
∴a=1，
∴f（x）=4x+$\frac{1}{x}$；
（Ⅱ）当a=-2时，f（x）=4x-$\frac{2}{x}$，x∈[1，4]，函数单调递增，
∴f（x）∈[2，$\frac{31}{2}$]，
∵对任意x∈[1，4]上，函数y=f（x）的图象在函数y=t的图象的下方，
∴t＞$\frac{31}{2}$．

点评 本题考查函数的解析式，考查函数的奇偶性、单调性，确定函数的解析式是关键．