Question

8．已知点O是△ABC的外接圆圆心，且AB=3，AC=4．若存在非零实数x、y，使得$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$，且x+2y=1，则cos∠BAC的值为（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 对等式$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$两边分别乘以$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$便可得到$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}=x{\overrightarrow{AB}}^{2}+y\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}\\{\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}=x\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+y{\overrightarrow{AC}}^{2}}\end{array}\right.$，根据O为△ABC外接圆的圆心，便可得到$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}=\frac{9}{2}，\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}=8$，从而可以得出$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9}{2}=9x+12ycos∠BAC}\\{8=12xcos∠BAC+16y}\end{array}\right.$，然后联立x+2y=1即可解出x，y，cos∠BAC，并需满足x，y非零，这便可得出cos∠BAC．

解答 解：如图，

由$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$得：
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}=x{\overrightarrow{AB}}^{2}+y\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}\\{\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}=x\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+y{\overrightarrow{AC}}^{2}}\end{array}\right.$；
$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{AO}||\overrightarrow{AB}|•\frac{\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AO}|}=\frac{9}{2}$，$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AO}||\overrightarrow{AC}|$$•\frac{\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{AO}|}$=8；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9}{2}=9x+12ycos∠BAC}\\{8=12xcos∠BAC+16y}\end{array}\right.$，联立x+2y=1解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{10}}\\{y=\frac{9}{20}}\\{cos∠BAC=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=\frac{1}{2}}\\{cos∠BAC=\frac{3}{4}}\end{array}\right.$；
∵x，y都不为0；
∴$cos∠BAC=\frac{2}{3}$．
故选：A．

点评 考查向量数量积的运算及其计算公式，三角形外接圆圆心的概念，余弦函数的定义，能够通过联立三个方程解出三元二次方程组．