Question

18．设p：x²-5x+a＜0； q：x²-4x+3＜0或2${\;}^{{x}^{2}}$＜2^6x-8
（1）当a=6时，“p∨q”为真，求x的范围
（2）￢p是￢q的充分不必要条件时，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分别求出p，q为真时不等式的解集，再根据p∨q为真，p，q中至少一个为真，分类讨论即可得到x的范围；
（2）利用￢p是￢q的充分不必要条件，q是p的充分不必要条件，建立条件关系进行求解即可．

解答 解：（1）若q为真，则x²-4x+3＜0，或x²-6x+8＜0，解得1＜x＜4，
当a=6时，p为真，则x²-5x+6＜0，解得2＜x＜3，
∵p∨q为真，
∴p，q中至少一个为真，
当p为真时，q为假时$\left\{\begin{array}{l}{2＜x＜3}\\{x≤1，或x≥4}\end{array}\right.$，无解，
当p为假，q为真时，$\left\{\begin{array}{l}{x≤2，或x≥3}\\{1＜x＜4}\end{array}\right.$，解得1＜x≤2，或3≤x＜4，
当p，q均为真时，$\left\{\begin{array}{l}{1＜x＜4}\\{2＜x＜3}\end{array}\right.$，解得2＜x＜3，
综上所述，x的范围为1＜x＜4，
（2）￢p是￢q的充分不必要条件，
∴q是p的充分不必要条件，
∴q⇒p，
由于x²-5x+a＜0，当△=25-4a＞0时，即a＜$\frac{25}{4}$时，解得$\frac{5-\sqrt{25-4a}}{2}$＜x＜$\frac{5+\sqrt{25-4a}}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5-\sqrt{25-4a}}{2}＜1}\\{\frac{5-\sqrt{25-4a}}{2}＞4}\\{a＜\frac{25}{4}}\end{array}\right.$
解得a＜4，
∴a的取值范围（-∞，4）．

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用逆否命题的等价性将￢p是￢q的充分不必要条件转化为q是p充分不必要条件，是解决本题的关键，属于中档题．