Question

9．以直线x±2y=0为渐近线，且截直线x-y-3=0所得弦长为$\frac{8\sqrt{3}}{3}$的双曲线方程为（　　）

• A． $\frac{{y}^{2}}{4}$-$\frac{{x}^{2}}{8}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{8}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• C． y²-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1

Answer 1

分析 设双曲线方程为x²-4y²=λ，联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4{y}^{2}=λ}\\{x-y-3=0}\end{array}\right.$，得3x²-24x+（36+λ）=0，由椭圆弦长公式求出λ=4，由此能求出双曲线方程．

解答 解：∵双曲线以直线x±2y=0为渐近线，
∴设双曲线方程为x²-4y²=λ，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4{y}^{2}=λ}\\{x-y-3=0}\end{array}\right.$，消去y，得3x²-24x+（36+λ）=0，
设直线被双曲线截得的弦为AB，且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${x}_{1}+{x}_{2}=8，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{36+λ}{3}$，
△=24²-432-12λ＞0，
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+1}•\sqrt{{8}^{2}-4×\frac{36+λ}{3}}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
解得λ=4，
∴所求双曲线方程是$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}=1$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线标准方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质和弦长公式的合理运用．