Question

13．已知二次函数f（x）=ax²+bx-2（a≠0），满足f（2-x）=f（x），且f（3）=1．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）-kx在[1，3]上不是单调函数，求k的取值范围；
（Ⅲ）若函数h（x）=mf（x）+2m-1的图象恒在x轴的下方，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用f（2-x）=f（x），且f（3）=1，建立方程，求出a，b，即可求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）-kx在[1，3]上不是单调函数，对称轴在区间内，即可求k的取值范围；
（Ⅲ）若函数h（x）=mf（x）+2m-1的图象恒在x轴的下方，h（x）=mf（x）+2m-1=mx²-2mx-1＜0恒成立，分类讨论，即可求实数m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵f（2-x）=f（x），
∴函数的对称轴为x=1，
∴-$\frac{b}{2a}$=1，
∵f（3）=1，
∴9a+3b-2=1，
∴a=1，b=-2，
∴f（x）=x²-2x-2；
（Ⅱ）g（x）=f（x）-kx=x²-（2+k）x-2，对称轴为x=$\frac{2+k}{2}$
∵g（x）在[1，3]上不是单调函数，
∴1＜$\frac{2+k}{2}$＜3，
∴0＜k＜4；
（Ⅲ）∵函数h（x）=mf（x）+2m-1的图象恒在x轴的下方，
∴h（x）=mf（x）+2m-1=mx²-2mx-1＜0恒成立，
①m=0时，-1＜0，成立；
②m≠0时，$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{4{m}^{2}+4m＜0}\end{array}\right.$，∴-4＜m＜0
∴实数m的取值范围是-4＜m≤0．

点评 本题考查函数的解析式，考查函数的单调性，考查恒成立问题，确定函数的解析式是关键．