Question

2．已知数列{a_n}：$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$$+\frac{2}{3}$，$\frac{1}{4}$$+\frac{2}{4}$+$\frac{3}{4}$，…+$\frac{1}{10}$+$\frac{2}{10}$+$\frac{3}{10}$+…+$\frac{9}{10}$，…那么数列{$\frac{1}{{a}_{n+2}{a}_{n+1}{a}_{n}}$}的前n项和为2-$\frac{4}{（n+1）（n+2）}$．

Answer 1

分析 运用等差数列的求和公式可得，a_n=$\frac{1}{2}$n，化简$\frac{1}{{a}_{n+2}{a}_{n+1}{a}_{n}}$=$\frac{8}{n（n+1）（n+2）}$=4[$\frac{1}{n（n+1）}$-$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$]，再由裂项相消求和即可得到所求．

解答 解：由题意可得a_n=$\frac{1+2+3+…+n}{n+1}$
=$\frac{\frac{1}{2}n（n+1）}{n+1}$=$\frac{1}{2}$n，
$\frac{1}{{a}_{n+2}{a}_{n+1}{a}_{n}}$=$\frac{8}{n（n+1）（n+2）}$=4[$\frac{1}{n（n+1）}$-$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$]，
即有前n项和为Sn=4[$\frac{1}{1•2}$-$\frac{1}{2•3}$+$\frac{1}{2•3}$-$\frac{1}{3•4}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$-$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$]
=4[$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$]=2-$\frac{4}{（n+1）（n+2）}$．
故答案为：2-$\frac{4}{（n+1）（n+2）}$．

点评 本题考查等差数列的求和公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，以及化简整理的运算能力，属于中档题．