Question

18．已知函数f（x）=x|x+a|-$\frac{1}{2}$lnx（a∈R）．
（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值点．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）根据函数的导数和极值之间的关系即可求函数f（x）的极值点．

解答 解：f（x）的定义域为（0，+∞）．
（Ⅰ）若a=1，则f（x）=x（x+1）-$\frac{1}{2}$lnx，此时f（1）=2．
因为f′（x）=2x+1-$\frac{1}{2x}$，
所以f′（1）=$\frac{5}{2}$，所以切线方程为y-2=$\frac{5}{2}$（x-1），
即5x-2y-1=0．
（Ⅱ）由于f（x）=x|x+a|-$\frac{1}{2}$lnx，x∈（0，+∞）．
（1）当a≥0时，f（x）=x²+ax-$\frac{1}{2}$lnx，f′（x）=$\frac{4{x}^{2}+2ax-1}{2x}$，
令f'（x）=0，得x₁=$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}+4}}{4}$＞0，x₂=$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}+4}}{4}$＜0（舍去），
且当x∈（0，x₁）时，f'（x）＜0；
当x∈（x₁，+∞）时，f'（x）＞0，
所以f（x）在（0，x₁）上单调递减，在（x₁，+∞）上单调递增，f（x）的极小值点为$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}+4}}{4}$．
（2）当a＜0时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+ax-\frac{1}{2}lnx，x≥-a}\\{-{x}^{2}-ax-\frac{1}{2}lnx，0＜x＜-a}\end{array}\right.$．
①当x≥-a时，f′（x）=$\frac{4{x}^{2}+2ax-1}{2x}$，
令f'（x）=0，得x₁=$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}+4}}{4}$＞0，x₂=$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}+4}}{4}$＜-a（舍去）．
若$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}+4}}{4}$≤-a，即a≤-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则f'（x）≥0，所以f（x）在（-a，+∞）上单调递增；
若$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}+4}}{4}$＞-a，即-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜a＜0，
则当x∈（-a，x₁）时，f'（x）＜0；
当x∈（x₁，+∞）时，f'（x）＞0，
所以f（x）在区间（-a，x₁）上是单调递减，在（x₁，+∞）上单调递增．
②当0＜x＜-a时，f′（x）=$\frac{-4{x}^{2}-2ax-1}{2x}$．
令f'（x）=0，得-4x²-2ax-1=0，记△=4a²-16，
若△≤0，即-2≤a＜0时，f'（x）≤0，
所以f（x）在（0，-a）上单调递减；
若△＞0，即a＜-2时，则由f'（x）=0得，x₃=$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}+4}}{4}$，x₄=$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}+4}}{4}$且0＜x₃＜x₄＜-a，
当x∈（0，x₃）时，f'（x）＜0；
当x∈（x₃，x₄）时，f'（x）＞0；
当x∈（x₄，-a）时，f'（x）＜0，
所以f（x）在区间（0，x₃）上单调递减，在（x₃，x₄）上单调递增；在（x₄，-a）上单调递减．
综上所述，当a＜-2时，f（x）的极小值点为x=$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}+4}}{4}$和x=-a，极大值点为x=$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}+4}}{4}$；
当-2≤a≤-$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，f（x）的极小值点为x=-a；
当a$＞-\frac{\sqrt{2}}{2}$时，f（x）的极小值点为x=$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}+4}}{4}$．

点评 本题主要考查导数的应用，要求熟练掌握导数的几何意义以及利用导数求函数的极值．