Question

7．设a＞0且a≠1，f（x）=a^x+a^-x，g（x）=a^x-a^-x，且f（x）•f（y）=8，g（x）•g（y）=4，
（1）求[g（x）]²-[f（x）]²的值；
（2）求$\frac{f（x+y）}{f（x-y）}$的值；
（3）求a^x及a^y的值．

Answer 1

分析 （1）根据指数幂的运算法则即可求[g（x）]²-[f（x）]²的值；
（2）根据条件f（x）•f（y）=8，g（x）•g（y）=4，利用方程组即可求$\frac{f（x+y）}{f（x-y）}$的值；
（3）结合一元二次方程即可求a^x及a^y的值．

解答 解：（1）∵f（x）=a^x+a^-x，g（x）=a^x-a^-x，
∴[g（x）]²-[f（x）]²=（a^x-a^-x）²-（a^x+a^-x）²=a^2x-2+a^-2x-a^2x-2-a^-2x=-4．
（2）∵f（x）•f（y）=8，
∴f（x）•f（y）=（a^x+a^-x）（a^y+a^-y）=8，
即a^x+y+a^-x+y+a^x-y+a^-x-y=8  ①
∵g（x）•g（y）=4，
∴g（x）•g（y）=（a^x-a^-x）•（a^y-a^-y）=4． 
即a^x+y-a^x-y-a^-x+y+a^-x-y=4，②
①+②，得 2（a^x+y+a^-x-y）=12，
∴a^x+y+a^-x-y=6，
即f（x+y）=6，
①-②，得2（a^x-y+a^-x+y）=4．
∴a^x-y+a^-x+y=2．即f（x-y）=2．
则$\frac{f（x+y）}{f（x-y）}$=$\frac{6}{2}=3$．
（3）∵a^x+y+a^-x-y=6，
∴a^x+y+$\frac{1}{{a}^{x+y}}$=6，
即（a^x+y）²-6（a^x+y）+1=0，
即a^x+y=3+2$\sqrt{2}$或a^x+y=3-2$\sqrt{2}$，
∵a^x-y+a^-x+y=2．
∴（a^x-y）²-2（a^x-y）+1=0
a^x-y=1，即x-y=0，则x=y，
即a^2x=3+2$\sqrt{2}$=（3+$\sqrt{2}$）²或a^2x=3-2$\sqrt{2}$=（3-$\sqrt{2}$）²，
∴则a^x=3+$\sqrt{2}$或a^x=3-$\sqrt{2}$，
即a^y=3+$\sqrt{2}$或a^y=3-$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查指数幂的运算法则，考查学生的计算能力．