Question

15．已知函数f（x）=|x-a|-$\frac{9}{x}$+a，x∈[1，6]，a∈R．
（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的单调区间，并用单调性定义证明；
（Ⅱ）若函数f（x）在[1，a]上单调，且存在x₀∈[1，a]使f（x₀）＞-2成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）当a∈（1，6）时，求函数f（x）的最大值的表达式M（a）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=1时，由x∈[1，6]，化简f（x），用单调性定义讨论f（x）的增减性；
（Ⅱ）当x∈[1，a]时，化简f（x），由（1）知，x∈[1，3）时，f（x）单调增，即a∈（1，3]时，f（x）在[1，a]上单调增，由题意f（x）_max＞-2，求得a的取值范围；
（Ⅲ）由a∈（1，6）知，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}2a-（x+\frac{9}{x}），1≤x≤a\\ x-\frac{9}{x}，a＜x≤6\end{array}\right.$，分1＜a≤3与3＜a＜6讨论函数的单调性，从而求得f（x）的最大值M（a）．

解答 解：（Ⅰ）当a=1，f（x）=|x-1|-$\frac{9}{x}$+1=x-$\frac{9}{x}$为增函数，
证明：∵f（x）=x-$\frac{9}{x}$，任取x₁，x₂∈[1，6]，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（x₁-$\frac{9}{{x}_{1}}$）-（x₂-$\frac{9}{{x}_{2}}$）=$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}{x}_{2}+9）}{{x}_{1}{x}_{2}}$＜0，
∴f（x）在[1，6]是增函数；
（Ⅱ）当x∈[1，a]时，f（x）=a-x-$\frac{9}{x}$+a=-x-$\frac{9}{x}$+2a；
由（1）知，当x∈[1，3）时，f（x）是增函数，当x∈[3，6]时，f（x）是减函数；
∴当a∈（1，3]时，f（x）在[1，a]上是增函数；
且存在x₀∈[1，a]使f（x₀）＞-2成立，
∴f（x）_max=f（a）=a-$\frac{9}{x}$＞-2，
解得a＞$\sqrt{10}$-1；
综上，a的取值范围是{a|$\sqrt{10}$-1＜a≤3}．
（Ⅲ）∵a∈（1，6），∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}2a-（x+\frac{9}{x}），1≤x≤a\\ x-\frac{9}{x}，a＜x≤6\end{array}\right.$，
①当1＜a＜3时，f（x）在[1，a]上是增函数，在[a，6]上也是增函数，
∴当x=6时，f（x）取得最大值$\frac{9}{2}$，
②当3＜a＜6时，f（x）在[1，3]上是增函数，在[3，a]上是减函数，在[a，6]上是增函数，
而f（3）=2a-6，f（6）=$\frac{9}{2}$，
当3＜a≤$\frac{21}{4}$时，2a-6≤$\frac{9}{2}$，当x=6时，f（x）取得最大值为$\frac{9}{2}$．
当$\frac{21}{4}$≤a＜6时，2a-6＞$\frac{9}{2}$，当x=3时，f（x）取得最大值为2a-6．
综上得，M（a）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{9}{2}，1＜a≤\frac{21}{4}\\ 2a-6，\frac{21}{4}＜a＜6\end{array}\right.$

点评 本题考查了含绝对值的函数的单调性的判断与证明以及函数的最值的求法问题，也考查了分类讨论思想与化归思想．