Question

已知椭圆C：x2+

y2

m

=1的焦点在y轴上，且离心率为

3

2

．过点M（0，3）的直线l与椭圆C相交于两点A、B．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P为椭圆上一点，且满足

OA

+

OB

=λ

OP

（O为坐标原点），当|

PA

|-|

PB

|＜

3

时，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题知a²=m，b²=1，∴c²=m-1，且离心率为

3

2

，得m=4．由此能求出椭圆的方程．
（2）当l的斜率不存在时，|

PA

-

PB

|=|

AB

|=4＞

3

，不符合条件．设l的斜率为k，则l的方程为y=kx+3．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），联立l和椭圆的方程：

y=kx+3 x2+ y2 4 =1

，消去y，整理得（4+k²）x²+6kx+5=0，再由根的判别式和韦达定理进行求解．

解答：解：（1）由题知a²=m，b²=1，∴c²=m-1
∴e=

c

a

=

m-1

m

=

3

2

，解得m=4．
∴椭圆的方程为x2+

y2

4

=1．（4分）
（2）当l的斜率不存在时，|

PA

-

PB

|=|

AB

|=4＞

3

，不符合条件．（5分）
设l的斜率为k，则l的方程为y=kx+3．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），联立l和椭圆的方程：

y=kx+3 x2+ y2 4 =1

，．消去y，整理得（4+k²）x²+6kx+5=0，
∴△=（6k）²-4×（4+k²）×5=16k²-80＞0，解得k²＞5．且x1+x2=-

6k

4+k2

，x1x2=

5

4+k2

，
∴|

PA

-

PB

|=|

AB

|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 (1+k2)(k2-5)

4+k2

由已知有

4 (1+k2)(k2-5)

4+k2

＜

3

整理得13k⁴-88k²-128＜0，解得-

16

13

＜k2＜8，
∴5＜k²＜8．（9分）
∵

OA

+

OB

=λ

OP

，即（x₁，y₁）+（x₂，y₂）=λ（x₀，y₀），
∴x₁+x₂=λx₀，y₁+y₂=λy₀
当λ=0时，x1+x2=-

6k

4+k2

=0，y1+y2=k(x1+x2)+6=

24

4+k2

=0，显然，上述方程无解．
当λ≠0时，x0=

x1+x2

λ

=-

6k

λ(4+k2)

，y0=

y1+y2

λ

=

24

λ(4+k2)

．
∵P（x₀，y₀）在椭圆上，即

x

2 0

+

y02

4

=1，
化简得λ2=

36

4+k2

．由5＜k²＜8，可得3＜λ²＜4，
∴λ∈（-2，-

3

）∪（

3

，2）．即λ的取值范围为（-2，-

3

）∪（

3

，2）．（12分）

点评：本题考查圆锥曲线和直线 的位置关系和应用，解题时要注意公式的灵活运用．