Question

定义在(－∞，＋∞)上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)在[－1,0]上是增函数，下面五个关于f(x)的命题中：①f(x)是周期函数；②f(x)的图象关于直线x＝1对称；③f(x)在[0,1]上是增函数；④f(x)在[1,2]上为减函数；⑤f(2)＝f(0)，正确命题的个数是________.

Answer 1

3个

[解析]由于f(x＋1)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，函数f(x)是以2为最小正周期的周期函数，故命题①正确；由于f(2－x)＝f(－x)＝f(x)，故函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，命题②正确；偶函数在定义域上关于坐标原点对称的区间上的单调性相反，故命题③不正确；根据周期性，函数在[1,2]上的单调性与[－1,0]上的单调性相同，故命题④不正确；根据周期性，命题⑤正确.