Question

已知数列和满足,  ,   .

(1) 当时,求证: 对于任意的实数,一定不是等差数列；

(2) 当时,试判断是否为等比数列；

(3) 设为数列的前项和,在(Ⅱ)的条件下,是否存在实数,使得对任意的正整数,都有?若存在,请求出的取值范围；若不存在,请说明理由.

Answer 1

（1）当时,

假设是等差数列,由得,即,

∵△＝1-4＝-3<0,方程无解。

故对于任意的实数,一定不是等差数列

（2）当时,.而,

所以

又

故当时, 不是等比数列.

当时, 是以为首项,为公比的等比数列.

（3）由(Ⅱ)知,当时,,不合要求.

所以,于是,要使成立,

则

令,当n正奇数时,；当n正偶数时,.

故的最大值为,最小值为

欲对任意的正整数n都成立,则,

即,所以.

综上所述,存在唯一的实数=,使得对任意的正整数,都有。