Question

2．如图，四边形ABCD中，AB=3，BC=2$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{5}$，∠ADC=3∠ABC．
（Ⅰ）求∠ADC的大小；
（Ⅱ）若BD•cos∠ABD=AB，求BD的长．

Answer 1

分析 （I）在△ABC中使用余弦定理解出∠ABC，从而得出∠ADC；
（II）由BD•cos∠ABD=AB可知∠DAB=$\frac{π}{2}$，于是A，B，C，D四点共圆，BD为圆的直径，利用圆的性质解出OB．

解答 解：（I）在△ABC中，由余弦定理得cos∠ABC=$\frac{A{B}^{2}+B{C}^{2}-A{C}^{2}}{2AB•BC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴∠ABC=$\frac{π}{4}$．∴∠ADC=3∠ABC=$\frac{3π}{4}$．
（II）∵BD•cos∠ABD=AB，∴∠DAB=$\frac{π}{2}$，∴∠DCB=$\frac{π}{2}$．
∴四边形ABCD共圆，且BD为四边形ABCD外接圆的直径．
设BD中点为O，连结OA，OC，则∠COA=2∠ABC=$\frac{π}{2}$，
又∵OA=OC，∴△ACO是等腰直角三角形，
∴OC=OA=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
∴BD=2OA=$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了余弦定理，圆内接四边形的性质，属于基础题．