Question

12．已知点$A（{3，1}），B（{\frac{5}{3}，2}）$，且平行四边形ABCD的四个顶点都在函数$f（x）={log_2}\frac{x+1}{x-1}$的图象上，则四边形ABCD的面积为$\frac{26}{3}$．

Answer 1

分析 由条件可设$C（{x}_{1}，lo{g}_{2}\frac{{x}_{1}+1}{{x}_{1}-1}），D（{x}_{2}，lo{g}_{2}\frac{{x}_{2}+1}{{x}_{2}-1}）$，从而可以得出向量$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{DC}$的坐标，根据题意有$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$，从而便得到$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}-{x}_{2}=-\frac{4}{3}}\\{lo{g}_{2}\frac{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}-1）}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}+1）}=1}\end{array}\right.$，这两式联立即可求出x₁，x₂，从而得出D点的坐标，进一步求出$\overrightarrow{AD}$的坐标，从而可以由$cos∠BAD=\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AD}|}$求出cos∠BAD，从而可得出sin∠BAD，根据$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AD}|sin∠BAD$即可得出平行四边形ABCD的面积．

解答 解：根据题意设$C（{x}_{1}，lo{g}_{2}\frac{{x}_{1}+1}{{x}_{1}-1}），D（{x}_{2}，lo{g}_{2}\frac{{x}_{2}+1}{{x}_{2}-1}）$，则：
$\overrightarrow{AB}=（-\frac{4}{3}，1），\overrightarrow{DC}=（{x}_{1}-{x}_{2}，lo{g}_{2}\frac{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}-1）}{{{（x}_{1}-1）（x}_{2}+1）}）$；
∵$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}-{x}_{2}=-\frac{4}{3}}&{①}\\{lo{g}_{2}\frac{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}-1）}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}+1）}=1}&{②}\end{array}\right.$；
由②得，$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-（{x}_{1}-{x}_{2}）-1}{{x}_{1}{x}_{2}+（{x}_{1}-{x}_{2}）-1}=\frac{{x}_{1}{x}_{2}+\frac{4}{3}-1}{{x}_{1}{x}_{2}-\frac{4}{3}-1}$=$\frac{{x}_{1}{x}_{2}+\frac{1}{3}}{{x}_{1}{x}_{2}-\frac{7}{3}}=2$；
整理得，x₁x₂=5，∴${x}_{1}=\frac{5}{{x}_{2}}$带入①式解得${x}_{2}=-\frac{5}{3}$，或3（舍去）；
∴x₁=-3；
∴$C（-3，-1），D（-\frac{5}{3}，-2）$；
∴$\overrightarrow{AD}=（-\frac{14}{3}，-3）$；
∴$|\overrightarrow{AB}|=\frac{5}{3}，|\overrightarrow{AD}|=\frac{\sqrt{277}}{3}$，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}=\frac{29}{9}$；
∴$cos∠BAD=\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AD}|}$=$\frac{\frac{29}{9}}{\frac{5}{3}×\frac{\sqrt{277}}{3}}=\frac{29}{5\sqrt{277}}$；
∴$sin∠BAD=\sqrt{1-\frac{841}{25×277}}$；
∴四边形ABCD的面积为：$S=|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AD}|sin∠BAD$=$\frac{5}{3}×\frac{\sqrt{277}}{3}×\sqrt{1-\frac{841}{25×277}}=\frac{26}{3}$．
故答案为：$\frac{26}{3}$．

点评 考查函数图象上点的坐标和函数解析式的关系，平行四边形的定义，向量相等的概念，根据点的坐标求向量的坐标，消元法解二元二次方程组，根据向量的坐标求向量的长度，向量数量积的坐标运算，以及向量夹角的余弦公式，平行四边形的面积公式．