Question

7．某市教育局在甲，乙，丙三所学校对学生进行法律宣传教育，三所学校的学生人数分别为2400名，1600名，2000名，为了解这次教育活动的效果，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙学校中抽取了20名，若随机变量ξ～N（$\frac{n}{15}$，σ²），P（ξ＞7）=$\frac{6}{n}$，P（1＜ξ＜7）=$\frac{4}{a+2b}$（a＞0，b＞0），则a²+4b²+2$\sqrt{ab}$的最大值是$\frac{101}{4}$．

Answer 1

分析 先根据分层抽样求出n的值，再根据随机变量ξ服从正态分布N（4，σ²），得到曲线关于x=4对称，根据曲线的对称性得到P（1＜ξ＜7）=$\frac{4}{a+2b}$，求出a+2b=5，由此得到a²+4b²+2$\sqrt{ab}$=-4（$\sqrt{ab}$-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{101}{4}$，再根据根据基本不等式可得．

解答 解：由题意可得$\frac{20}{n}$=$\frac{2000}{2400+1600+2000}$，解得n=60，
则随机变量ξ～N（4，σ²），P（ξ＞7）=0.1，P（1＜ξ＜7）=$\frac{4}{a+2b}$，
∴曲线关于x=4对称，
∴P（1＜ξ＜7）=1-2P（ξ＞7）=1-2×0.1=0.8=$\frac{4}{a+2b}$，
∴a+2b=5，
∴a²+4b²+2$\sqrt{ab}$=（a+2b）²-4ab+2$\sqrt{ab}$=-4（$\sqrt{ab}$-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{101}{4}$，
∵a＞0，b＞0，
∴5=a+2b≥2$\sqrt{2ab}$，
∴0＜$\sqrt{ab}$≤$\frac{5\sqrt{2}}{4}$，
当$\sqrt{ab}$=$\frac{1}{4}$时，取最大值为$\frac{101}{4}$，
故答案为：$\frac{101}{4}$

点评 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，完全平方公式及基本不等式的运用，配方法的运用，注意基本不等式应用的条件并判断“=”是否取到．