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【题目】设函数f(x)=x3+ax2+bx(x>0)的图像与x轴相切于M(3,0).
(1)求f(x)的解析式;
(2)是否存在两个不等正数s,t(s<t),当x∈[s,t]时,函数f(x)=x3+ax2+bx的值域也是[s,t],若存在,求出所有这样的正数s,t,若不存在,请说明理由.

【答案】
(1)解:f′(x)=3x2+2ax+b,依题意有

,解得

∴f(x)=x3﹣6x2+9x


(2)解:f′(x)=3x2﹣12x+9=3(x﹣1)(x﹣3),

由f′(x)=0,得x=1或x=3.

当x∈(﹣∞,1),(3,+∞)时,f′(x)>0,函数为增函数,

当x∈(1,3)时,f′(x)<0,函数为减函数,

∴f(x)=x3﹣6x2+9x的极大值为4,极小值为0.

①若极值点3在[s,t]上,

∵函数的值域也是[s,t],

∴0∈[s,t],这与s>0矛盾;

②若极值点1在[s,t]上,

∵函数的值域也是[s,t],

∴4∈[s,t],这与0<s≤1≤t<3矛盾;

③若f(x)=x3﹣6x2+9x在区间[s,t]上单调递增,

即0<s<t<1或3<s<t,则

即s,t是方程x3﹣6x2+9x=x的两个不同正根,解得 舍去;

④若f(x)=x3﹣6x2+9x在区间[s,t]上单调递减,

即1≤s<t≤3,则

两式相减并除以s﹣t得:(s+t)2﹣6(s+t)﹣st+10=0*,

两式相除并开方可得:s(s﹣3)=t(t﹣3),

∴s+t=3.代入*得st=1.

∴s,t为方程x2﹣3x+1=0的两根,

解得:

综上,存在 满足条件


【解析】(1)由已知得f′(x)=3x2+2ax+b.依题意f(3)=0,f′(3)=0,解方程即可求出f(x)=x3﹣6x2+9x; (2)由函数的定义域是正数知,s>0,故极值点x=3不在区间[s,t]上,由此利用分类讨论思想能求出不存在正数s,t满足要求.

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微信控

非微信控

合计

男性

26

24

50

女性

30

20

50

合计

56

44

100


(1)根据以上数据,能否有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关?
(2)现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜各1份,再从抽取的这5人中再随机抽取3人赠送200元的护肤品套装,记这3人中“微信控”的人数为X,试求X的分布列和数学期望.
参考公式:K2= ,其中n=a+b+c+d
参考数据:

P(K2≥k0

0.50

0.40

0.25

0.05

0.025

0.010

k0

0.455

0.708

1.321

3.840

5.024

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