Question

已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，

Sn

是

1

4

与(an+1)2的等比中项．
（1）求证：数列{a_n}是等差数列；
（2）若b₁=a₁，且b_n=2b_n-1+3，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）要证明数列{a_n}为等差数列，需证明a_n-a_n-1=d，由已知条件可得（a_n-a_n-1-2）（a_n+a_n-1）=0，即可得出结论；
（2）证明数列{b_n+3}是以4为首项，2为公比的等比数列，即可求数列{b_n}的通项公式．

解答：（1）证明：∵

Sn

是

1

4

与(an+1)2的等比中项，
∴S_n=

1

4

(an+1)2，
∴n≥2时，Sn-1=

1

4

(an-1+1)2，
两式相减可得a_n=

1

4

(an+1)2-

1

4

(an-1+1)2，
化简可得（a_n-a_n-1-2）（a_n+a_n-1）=0，
∵a_n+a_n-1＞0，
∴a_n-a_n-1=2，
∵S1=

1

4

(a1+1)2，∴a₁=1，
∴数列{a_n}以1为首项，以2为公差的等差数列；
（2）解：∵b_n=2b_n-1+3，
∴b_n+3=2（b_n-1+3），
∵b₁=a₁=1，∴b₁+3=4，
∴数列{b_n+3}是以4为首项，2为公比的等比数列，
∴b_n+3=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹，
∴b_n=2ⁿ⁺¹-3．

点评：本题考查等差数列、等比数列的证明，考查学生的计算能力，求解的关键是要把握递推公式的转化．