Question

9．某商场的20件不同的商品中有$\frac{3}{4}$的商品是进口的，其余是国产的，在进口的商品中高端商品的比例为$\frac{1}{3}$，在国产的商品中高端商品的比例为$\frac{3}{5}$．
（1）若从这20件商品中按分层（分三层：进口高端与进口非高端及国产）抽样的方法抽取4件，求抽取进口高端商品的件数；
（2）在该批商品中随机抽取3件，求恰有1件是进口高端商品且国产高端商品少于2件的概率；
（3）若销售1件国产高端商品获利80元，国产非高端商品获利50元，若销售3件国产商品，共获利ξ元，求ξ的分布列及数学期望Eξ．

Answer 1

分析 （1）利用分层抽样的定义进行求解即可，注意按比例抽取即可；
（2）是古典概型的概率问题，但基本事件的个数不是通过列举产生的，而是利用组合数产生；
（3）首先要求出ξ的可能取值，然后求出相应的概率，利用随机变量的分布列进行求解即可．

解答 解：（1）由题意得，进口的商品有15件，其中5件是高端商品，10件是非高端商品，国产的商品有5件，其中3件是高端商品，2件是非高端商品，
若从这20件商品中按分层抽样的方法抽取4件，则抽取进口高端商品的件数为1．
（2）设事件B为“在该批商品中随机抽取3件，恰有1件是进口高端商品且国产高端商品少于2件”，
事件A₁为“抽取的3件商品中，有1件进口高端商品，0件国产高端商品”，
事件A₂为“抽取的3件商品中，有1件进口高端商品，1件国产高端商品”，
则P（B）=P（A₁）+P（A₂）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{12}^{2}}{{C}_{20}^{3}}$+$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{3}^{1}{C}_{12}^{1}}{{C}_{20}^{3}}$=$\frac{55}{190}$+$\frac{30}{190}$=$\frac{17}{38}$，
所以在该批商品中随机抽取3件，恰有1件是进口高端商品且国产高端商品少于2件的概率是$\frac{17}{38}$，
（3）由于这批商品中仅有5件国产商品，其中3件是高端商品，2件是非高端商品，
那么，当销售3件国产商品时，可能有1件高端商品，2件非高端商品，或2件高端商品，
1件非高端商品，或3件都是高端商品，
于是ξ的可能取值为180，210，240．
P（ξ=180）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{3}{10}$，P（ξ=210）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$，P（ξ=240）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{1}{10}$．
所以ξ的分布列为

ξ	180	210	240
P	$\frac{3}{10}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{10}$

故Eξ=180×$\frac{3}{10}$+210×$\frac{3}{5}$+240×$\frac{1}{10}$=204．

点评 本题主要考查函数的应用问题，涉及分层抽样，离散型随机变量的分布列和期望的计算，考查学生的计算能力．