Question

14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosC=（3a-c）cosB．D为AC边的中点，且BD=1，则△ABD面积的最大值为$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$．

Answer 1

分析 已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据sinA不为0求出cosB的值，由D为边AC的中点，可得2$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$，两边平方，设|$\overrightarrow{BA}$|=c，|$\overrightarrow{BC}$|=a，可得4=a²+c²+$\frac{2}{3}$ac，结合基本不等式的应用可得ac的最大值，利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：∵bcosC=（3a-c）cosB，
∴利用正弦定理化简得：（3sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
整理得：3sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，
∴cosB=$\frac{1}{3}$，可得sinB=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∵点D为边AC的中点，
∴2$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$，
∴两边平方可得：4|$\overrightarrow{BD}$|²=|$\overrightarrow{BA}$|²+2|$\overrightarrow{BA}$|•|$\overrightarrow{BC}$|•cos∠ABC+|$\overrightarrow{BC}$|²，…（9分）
设|$\overrightarrow{BA}$|=c，|$\overrightarrow{BC}$|=a，可得：4=a²+c²+$\frac{2}{3}$ac≥ac，（当且仅当a=c=2时等号成立），
∴ac≤$\frac{3}{2}$，（当且仅当a=c=2时等号成立），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsin∠ABC≤$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（当且仅当a=c=2时等号成立），
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$．（当且仅当a=c=2时等号成立），
∴当且仅当a=c=2时，△ABD面积的最大值为$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$．…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，考查了平面向量及其应用，考查了基本不等式，三角形面积公式等知识在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．