Question

5．对于函数y=f（x），若存在区间[a，b]，当x∈[a，b]时的值域为[ka，kb]（k＞0），则称y=f（x）为k倍值函数．若f（x）=lnx+x是k倍值函数，则实数k的取值范围是（　　）

• A． $（{0，1+\frac{1}{e}}）$
• B． $（{1，1+\frac{1}{e}}）$
• C． （1，1+e）
• D． （1，1+e²）

Answer 1

分析 由于f（x）在定义域{x|x＞0} 内为单调增函数，利用导数求得g（x）的极大值为：g（e）=1+$\frac{1}{e}$，当x趋于0时，g（x）趋于-∞，当x趋于∞时，g（x）趋于1，因此当1＜k＜1+$\frac{1}{e}$时，直线y=k与曲线y=g（x）的图象有两个交点，满足条件，从而求得k的取值范围．

解答 解：∵f（x）=lnx+x，定义域为{x|x＞0}，f（x）在定义域为单调增函数，
因此有：f（a）=ka，f（b）=kb，即：lna+a=ka，lnb+b=kb，即a，b为方程lnx+x=kx的两个不同根．
∴k=1+$\frac{lnx}{x}$
令 k=1+$\frac{lnx}{x}$=g（x），
再令 g'（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$=0，
可得极大值点x=e，故g（x）的极大值为：g（e）=1+$\frac{1}{e}$，
当x趋于0时，g（x）趋于-∞，当x趋于∞时，g（x）趋于1，
因此当1＜k＜1+$\frac{1}{e}$ 时，直线y=k与曲线y=g（x）的图象有两个交点，方程 k=1+$\frac{lnx}{x}$有两个解．
故所求的k的取值范围为（1，1+$\frac{1}{e}$），
∴答案为 （1，1+$\frac{1}{e}$）．
故选：B．

点评 本题主要考查利用导数求函数的值的方法，体现了转化的数学思想，属于基础题．