Question

10．定义在（0，+∞）的函数f（x）的导函数f'（x）满足x³f'（x）+8＞0，且f（2）=2，则不等式$f（{e^x}）＜\frac{4}{{{e^{2x}}}}+1$的解集为（　　）

• A． （-∞，2）
• B． （-∞，ln2）
• C． （0，2）
• D． （0，ln2）

Answer 1

分析 令$F（x）=f（x）-\frac{4}{x^2}-1$，求出函数的导数，得到函数的单调性又$F（{e^x}）=f（{e^x}）-\frac{4}{{{e^{2x}}}}-1＜0=F（2）$，问题转化为e^x＜2，解出即可．

解答 解：由条件知$f'（x）+\frac{8}{x^3}＞0$，
令$F（x）=f（x）-\frac{4}{x^2}-1$，
则$F'（x）=f'（x）+\frac{8}{x^3}＞0$，
故F（x）在（0，+∞）上是增函数，
$F（2）=f（2）-\frac{4}{2^2}-1=0$，
又$F（{e^x}）=f（{e^x}）-\frac{4}{{{e^{2x}}}}-1＜0=F（2）$，
从而e^x＜2，即x＜ln2，
故不等式的解集是（-∞，ln2），
故选：B．

点评 本题考查函数与导数、不等式的综合知识，构造函数令$F（x）=f（x）-\frac{4}{x^2}-1$是解题的关键．