Question

1．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，0≤x＜a}\\{{2}^{x}，x≥a}\end{array}\right.$，若存在实数b，使得函数g（x）=f（x）-b有两个不同的零点，则a的取值范围是2＜a＜4．

Answer 1

分析 由g（x）=f（x）-b有两个零点可得f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a的范围．

解答 解：∵g（x）=f（x）-b有两个零点，
∴f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，
由于y=x²在[0，a）递增，y=2^x在[a，+∞）递增，
要使函数f（x）在[0，+∞）不单调，
即有a²＞2^a，由g（a）=a²-2^a，g（2）=g（4）=0，
可得2＜a＜4．
故答案为：2＜a＜4．

点评 本题考查函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合的数学思想，属于中档题．