Question

13．已知函数f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$．
（Ⅰ）若方程f（x）=m有两个不等实根，试求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若f（x₁）=f（x₂）且x₁＜x₂，求证：2x₁+3x₂＞5．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，可得以f（x）在（-∞，1）递增，在（1，+∞）递减．f（0）=0，x＞0时，f（x）＞0，x＜0时，f（x）＜0，画出图象，结合图象求解．
（Ⅱ）由（1）得0＜x₁＜1＜x₂，要证2x₁+3x₂＞5．只证2x₁+2x₂＞4即证⇒x₁+x₂＞2
 令$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}}{{e}^{{x}_{1}}}=m}\\{\frac{{x}_{2}}{{e}^{{x}_{2}}}=m}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{ln{x}_{1}={x}_{1}+lnm}\\{ln{x}_{2}={x}_{2}+lnm}\end{array}\right.\\;（0＜m＜\frac{1}{e}）$  （0$＜m＜\frac{1}{e}$）
⇒x₁-x₂=lnx₁-lnx₂，⇒$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{ln{x}_{1}-ln{x}_{2}}=1$…①
由对数均值不等式得$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{ln{x}_{1}-ln{x}_{2}}＜\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$…②
结合①②即可得证

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$的定义域为（-∞，+∞）
f′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
当x∈（-∞，1）时，f′（x）＞0，x∈（1，+∞），f′（x）＜0，
所以f（x）在（-∞，1）递增，在（1，+∞）递减．
f（0）=0，x＞0时，f（x）＞0，x＜0时，f（x）＜0，
∴函数的图象如下：

结合图象可得0＜m＜f（1），∴实数m的取值范围为（0，$\frac{1}{e}$）．
（2）证明：f（x₁）=f（x₂）且x₁＜x₂，由（1）得0＜x₁＜1＜x₂
要证2x₁+3x₂＞5．只证2x₁+2x₂＞4即证⇒x₁+x₂＞2
 令$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}}{{e}^{{x}_{1}}}=m}\\{\frac{{x}_{2}}{{e}^{{x}_{2}}}=m}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{ln{x}_{1}={x}_{1}+lnm}\\{ln{x}_{2}={x}_{2}+lnm}\end{array}\right.\\;（0＜m＜\frac{1}{e}）$  （0$＜m＜\frac{1}{e}$）
⇒x₁-x₂=lnx₁-lnx₂，⇒$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{ln{x}_{1}-ln{x}_{2}}=1$…①
由对数均值不等式得$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{ln{x}_{1}-ln{x}_{2}}＜\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$…②
由①②得$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}＞1$⇒x₁+x₂＞2，
∴原不等式成立．

点评 本题考查了导数的综合应用，数形结合思想，应用对数均值不等式处理极值点偏移问题，属于难题．