Question

8．设函数f（x）=x（lnx-ax）（a∈R）在区间（0，2）上有两个极值点，则a的取值范围是（　　）

• A． $（-\frac{1}{2}，0）$
• B． $（0，\frac{ln2+1}{4}）$
• C． $（\frac{1}{2}，1）$
• D． $（\frac{ln2+1}{4}，\frac{1}{2}）$

Answer 1

分析 方法一：求导f′（x）=lnx-2ax+1，由关于x的方程a=$\frac{lnx+1}{2x}$在区间（0，+∞）由两个不相等的实根，构造辅助函数，根据函数单调性即可求得a取值范围；
方法二：由题意，关于x的方程2ax=lnx+1在区间（0，2）由两个不相等的实根，则y=2ax与y=lnx+1有两个交点，根据导数的几何意义，即可求得a的取值范围．

解答 解：方法一：f（x）=x（lnx-ax），求导f′（x）=lnx-2ax+1，
由题意，关于x的方程a=$\frac{lnx+1}{2x}$在区间（0，+∞）由两个不相等的实根，
令h（x）=$\frac{lnx+1}{2x}$，h′（x）=-$\frac{2lnx}{4{x}^{2}}$，
当x∈（0，1）时，h（x）单调递增，当x∈（1，+∞）单调递减，
当x→+∞时，h（x）→0，
由图象可知：函数f（x）=x（lnx-ax），在（0，2）上由两个极值，
只需$\frac{ln2+1}{4}$＜a＜$\frac{1}{2}$，
故D．

方法二：f（x）=x（lnx-ax），求导f′（x）=lnx-2ax+1，
由题意，关于x的方程2ax=lnx+1在区间（0，2）由两个不相等的实根，
则y=2ax与y=lnx+1有两个交点，
由直线y=lnx+1，求导y′=$\frac{1}{x}$，
设切点（x₀，y₀），$\frac{ln{x}_{0}+1}{{x}_{0}}$=$\frac{1}{{x}_{0}}$，解得：x₀=1，
∴切线的斜率k=1，
则2a=1，a=$\frac{1}{2}$，
则当x=2，则直线斜率k=$\frac{ln2+1}{2}$，
则a=$\frac{ln2+1}{4}$，
∴a的取值范围（$\frac{ln2+1}{4}$，$\frac{1}{2}$），
故选D．

点评 本题考查导数的综合应用，考查导数与函数单调性及应用，考查数形结合思想，属于中档题．