Question

19．已知a＞0，b＞0，c＞0函数f（x）=|x+a|+|x-b|+c．
（1）当a=b=c=1时，求不等式f（x）＞5的解集；
（2）若f（x）的最小值为5时，求a+b+c的值，并求$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）当a=b=c=1时，不等式f（x）＞5即|x+1|+|x-1|+1＞5，化为：|x+1|+|x-1|＞4．对x与±1的大小关系分类讨论即可得出．
（2）不妨设a≥b＞0．分类讨论：①x＞b时，②-a≤x≤b时，③x＜-a时，可知：-a≤x≤b时，f（x）取得最小值a+b+c=5．可得$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$=$\frac{1}{5}$（a+b+c）$（\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}）$，再利用均值不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）当a=b=c=1时，不等式f（x）＞5即|x+1|+|x-1|+1＞5，化为：|x+1|+|x-1|＞4．
①x≥1时，化为：x+1+x-1＞4，解得x＞2．
②-1＜x＜1时，化为：x+1-（x-1）＞4，化为：0＞2，解得x∈∅．
③x≤-1时，化为：-（x+1）-（x-1）＞4，化为：x＜-2．
综上可得：不等式f（x）＞5的解集为：（-∞，-2）∪（2，+∞）．
（2）不妨设a≥b＞0．
①x＞b时，f（x）=x+a+x-b+c=2x+a-b+c，
②-a≤x≤b时，f（x）=a+x-（x-b）+c=a+b+c，
③x＜-a时，f（x）=-（a+x）+b-x+c=-2x-a+b+c．
可知：-a≤x≤b时，f（x）取得最小值a+b+c=5．
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$=$\frac{1}{5}$（a+b+c）$（\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}）$≥$\frac{1}{5}×3\root{3}{abc}$×$3\root{3}{\frac{1}{a}×\frac{1}{b}×\frac{1}{c}}$=$\frac{9}{5}$，当且仅当a═b=c=$\frac{5}{3}$时取等号．
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$的最小值为$\frac{9}{5}$．

点评 本题考查绝对值不等式的解法、均值不等式的性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．