Question

10．如图，已知矩形OABC中，OA=2，OC=1，OD=3，若P在△BCD中（包括边界），且$\overrightarrow{OP}$=α$\overrightarrow{OC}$+$\frac{1}{2}$β$\overrightarrow{OA}$，则α+$\frac{3}{2}$β的最大值为（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{5}{2}$
• C． $\frac{9}{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 先建立以O为原点，以OD所在直线为x轴的直角坐标系，根据条件求出点P的坐标与α，β之间的关系，再根据点P的位置，借助于可行域即可求解．

解答 解：分别以边OA，OC所在直线为x，y轴建立如图所实施平面直角坐标系；
∴$\overrightarrow{OC}$=（0，1），$\overrightarrow{OD}$=（3，0），设$\overrightarrow{OP}$=（x，y），
∵$\overrightarrow{OP}$=α$\overrightarrow{OC}$+$\frac{1}{2}$β$\overrightarrow{OA}$，
∴（x，y）=α（0，1）+$\frac{1}{2}$β（2，0）=（β，α），
∴x=β，y=α，
设z=α+$\frac{3}{2}$β=y+$\frac{3}{2}$x，
所以z是直线y=-$\frac{3}{2}$x+z在y轴上的截距；
由图形可以看出，当该直线经过C（3，0）点时，它在y轴的截距z最大，最大为$\frac{9}{2}$；
∴α+$\frac{3}{2}$β的最大值是$\frac{9}{2}$．
故选：C

点评 本题考查通过建立平面直角坐标系，用向量坐标解决向量问题的方法，利用线性规划求最值的方法．