Question

15．已知m∈R，若点M（x，y）为直线l₁：my=-x和l₂：mx=y+m-3的交点，l₁和l₂分别过定点A和B，则|MA|•|MB|的最大值为5．

Answer 1

分析 求出定点A，B的坐标，由于此两条直线互相垂直，可得|MA|²+|PM|²=|AB|²=10，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：动直线l₁：my=-x过定点A（0，0），
动直线l₂：mx=y+m-3化为m（x-1）-（y-3）=0，得x=1，y=3．过定点B（1，3）．
∵此两条直线互相垂直，
∴|MA|²+|PM|²=|AB|²=10，
∴10≥2|MA|•|MB|，
∴|MA|•|PM≤5，
当且仅当|MA|=|MB|时取等号．
故答案为：5．

点评 本题考查了直线系、相互垂直的直线位置的关系、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．