Question

14．等差数列{a_n}的各项均为正数，a₁=3，前n项和为S_n，{b_n}为等比数列，b₁=1，且b₂S₂=64，b₃S₃=960．
（1）求a_n与b_n；
（2）证明：$\frac{1}{S1}$+$\frac{1}{S2}$+…+$\frac{1}{Sn}$＜$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d＞0，等比数列{b_n}的公比为q，由a₁=3，b₁=1，且b₂S₂=64，b₃S₃=960．可得q（6+d）=64，q²（9+3d）=960，解得d，q．即可得出．
（2）由（1）可得：S_n=n（n+2）．可得$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．利用“裂项求和”与数列的单调性即可得出．

解答 （1）解：设等差数列{a_n}的公差为d＞0，等比数列{b_n}的公比为q，
∵a₁=3，b₁=1，且b₂S₂=64，b₃S₃=960．
∴q（6+d）=64，q²（9+3d）=960，化为：5d²-4d-12=0，
解得d=2，q=8．
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1，b_n=8^n-1．
（2）证明：由（1）可得：S_n=$\frac{n（3+2n+1）}{2}$=n（n+2）．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．
∴$\frac{1}{S1}$+$\frac{1}{S2}$+…+$\frac{1}{Sn}$=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$＜$\frac{3}{4}$．
∴∴$\frac{1}{S1}$+$\frac{1}{S2}$+…+$\frac{1}{Sn}$＜$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、“裂项求和”与数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．