Question

1．如图，在三棱锥A-BCD中，顶点A在底面BCD上的射影O在棱BD上，AB=AD=$\sqrt{2}$，BC=BD=2，∠CBD=90°，E为CD的中点．
（Ⅰ）求证：AD⊥平面ABC；
（Ⅱ）求直线AC与平面ABE所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角B-AE-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出BC⊥BD，BC⊥平面ABD，BC⊥AD，AD⊥AB，由此能证明AD⊥平面ABC．
（Ⅱ）连结OE，分别以OE、OD、OA为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AC与平面ABE所成角的正弦值．
（Ⅲ）求出平面ACE的法向量和平面ABE的法向量，由此利用向量法能求出二面角B-AE-C的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）∵顶点A在底面BCD上的射影O在棱BD上，
∴平面ABD⊥平面BCD，
∵∠CBD=90°，∴BC⊥BD，
∵平面ABD∩平面BCD=BD，∴BC⊥平面ABD，
AD?面ABD，∴BC⊥AD，
由AB=AD=$\sqrt{2}$，BD=2，得BD²=AB²+AD²，∴AD⊥AB，
∵AB∩BC=B，∴AD⊥平面ABC．
解：（Ⅱ）连结OE，分别以OE、OD、OA为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
O（0，0，0），A（0，0，1），B（0，-1，0），
C（2，-1，0），D（0，1，0），E（1，0，0），
$\overrightarrow{AC}$=（2，-1，-1），$\overrightarrow{AB}$=（0，-1，-1），$\overrightarrow{AE}$=（1，0，-1），
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为平面ABE的一个法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=-y-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=x-z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，1），
设AC与平面ABE所成角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{6}•\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{3}$．
∴直线AC与平面ABE所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
（Ⅲ）$\overrightarrow{AC}$=（2，-1，-1），$\overrightarrow{AE}$=（1，0，-1），
设平面ACE的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=x-z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=2x-y-z=0}\end{array}\right.$，取z=1，则$\overrightarrow{m}$=（1，1，1），
平面ABE的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，-1，1），
设二面角B-AE-C的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{1}{3}$．
∴二面角B-AE-C的余弦值为$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查线面的正弦值、二面角的余弦值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．