Question

11．已知h（x）=|2x-1|+m|x+3|（m＞0），且h（x）的最小值是7．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求出当h（x）取得最小值时x的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据不等式的性质得到关于m的方程组，解出即可；
（Ⅱ）根据“=”成立的条件求出x的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）h（x）=|2x-1|+m|x+3|=|1-2x|+|mx+3m|≥|（m-2）x+（1+3m）|，
∵h（x）的最小值是7，故$\left\{\begin{array}{l}{m-2=0}\\{|1+3m|=7}\end{array}\right.$，解得：m=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，当且仅当（1-2x）（mx+3m）≥0?（2x-1）（2x+6）≤0，
即-3≤x≤$\frac{1}{2}$时，h（x）≥|（m-2）x+（1+3m）|中的“=”成立，
故h（x）取最小值时x的范围是[-3，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查了绝对值不等式的性质，考查转化思想，是一道中档题．