Question

9．中心在原点的椭圆C₁与双曲线C₂具有相同的焦点，F₁（-c，0），F₂（c，0），P为C₁与C₂在第一象限的交点，|PF₁|=|F₁F₂|且|PF₂|=5，若椭圆C₁的离心率${e_1}∈（{\frac{3}{5}，\frac{2}{3}}）$，则双曲线的离心率e₂的范围是（　　）

• A． $（{\frac{3}{2}，\frac{5}{3}}）$
• B． $（{\frac{5}{3}，2}）$
• C． （2，3）
• D． $（{\frac{3}{2}，3}）$

Answer 1

分析 设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）（a＞b＞0），其离心率e₁，双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1（m＞0，n＞0），离心率为e₂，由e₁=$\frac{c}{a}$∈（$\frac{3}{5}$，$\frac{2}{3}$），e₂=$\frac{c}{m}$，由△PF₁F₂是以PF₂为底边的等腰三角形，结合椭圆与双曲线的定义可求得m=2c-a，从而可求得答案．

解答 解：设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
其离心率为e₁，
双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1（m＞0，n＞0），其离心率为e₂，
|F₁F₂|=2c，
∵有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，
△PF₁F₂是以PF₂为底边的等腰三角形，
∴在椭圆中，|PF₁|+|PF₂|=2a，而|PF₁|=|F₁F₂|=2c，
∴|PF₂|=2a-2c，①
同理，在该双曲线中，|PF₂|=2c-2m；②
由①②可得m=2c-a．
∵e₁=$\frac{c}{a}$∈（$\frac{3}{5}$，$\frac{2}{3}$），
∴$\frac{3}{2}$＜$\frac{1}{{e}_{1}}$＜$\frac{5}{3}$，
又e₂=$\frac{c}{m}$=$\frac{c}{2c-a}$=$\frac{{e}_{1}}{2{e}_{1}-1}$=$\frac{1}{2-\frac{1}{{e}_{1}}}$∈（2，3）．
故选：C．

点评 本题主要考查椭圆与双曲线的简单性质：离心率的范围，考查等价转换的思想与运算能力，考查倒数关系的灵活应用，属于中档题．