Question

12．已知函数f（x）=ax²+bx+c（a＞b＞c），且f（1）=0，若函数f（x）的导函数图象与函数f（x）的图象交于A，B两点，C，D是点A，B在x轴上的投影，则线段|CD|长的取值范围为（$\sqrt{5}$，+∞）．

Answer 1

分析 根据f（1）=0和f（x）=f′（x）有两解求出$\frac{c}{a}$的范围，利用根与系数的关系计算|x₁-x₂|²，从而得出答案．

解答 解：∵f（1）=a+b+c=0，∴b=-a-c，
∵a＞b＞c，∴a＞0，c＜0，∴$\frac{c}{a}＜$0，
f′（x）=2ax+b，
令ax²+bx+c=2ax+b得ax²+（b-2a）x+c-b=0，即ax²-（3a+c）x+2c+a=0，
∵函数f（x）的导函数图象与函数f（x）的图象交于A，B两点，
∴方程ax²-（3a+c）x+2c+a=0有两解，
∴△=（3a+c）²-4a（2c+a）=5a²-2ac+c²＞0，
∴（$\frac{c}{a}$）²-$\frac{2c}{a}$+5＞0，$\frac{c}{a}$∈R，
∴x₁+x₂=$\frac{3a+c}{a}$=3+$\frac{c}{a}$，x₁x₂=$\frac{2c+a}{a}$=1+$\frac{2c}{a}$，
∴|x₁-x₂|²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（3+$\frac{c}{a}$）²-4（1+$\frac{2c}{a}$）=（$\frac{c}{a}$）²-$\frac{2c}{a}$+5=（$\frac{c}{a}$-1）²+4，
∵$\frac{c}{a}$＜0，
∴（$\frac{c}{a}$-1）²+4＞5，
∴|x₁-x₂|＞$\sqrt{5}$．
故答案为（$\sqrt{5}$，+∞）．

点评 本题考查了二次函数的性质，函数最值的计算，属于中档题．