Question

15．以椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上一动点M为圆心，1为半径作圆M，过原点O作圆M的两条切线，A，B为切点，若∠AOB=θ，θ∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]，则椭圆C的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{4}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 连接OA，OB，OM，则∠AOM∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]，由AM=r=1，得OM∈[$\sqrt{2}$，2]，即a=2，b=$\sqrt{2}$．即可得椭圆C的离心率e

解答 解：如图连接OA，OB，OM，则∠AOM∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]
∵AM=r=1，∴OM∈[$\sqrt{2}$，2]
又因为b≤OM≤a，∴a=2，b=$\sqrt{2}$．
椭圆C的离心率e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故选：C

点评 本题考查了椭圆的离心率，转化思想是解题的关键，属于中档题．