Question

5．已知k∈Z，关于x的不等式k（x+1）＞$\frac{2x}{e^x}$在（0，+∞）上恒成立，则k的最小值为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 问题转化为k＞$\frac{2x}{x+1}$•e^-x对x＞0恒成立，令f（x）=e^-x•$\frac{2x}{x+1}$，（x＞0），根据函数的单调性求出f（x）的最大值，求出k的最小值即可．

解答 解：k（x+1）＞$\frac{2x}{e^x}$在（0，+∞）上恒成立，
即k＞$\frac{2x}{x+1}$•e^-x对x＞0恒成立，
令f（x）=e^-x•$\frac{2x}{x+1}$，（x＞0），
f′（x）=$\frac{-2{（x}^{2}+x-1）}{{{e}^{x}（x+1）}^{2}}$，
∴f′（x）＞0?x²+x-1＜0
⇒0＜x＜$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，f′（x）＜0?x＞$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
则f（x）_max=f（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）=$\frac{3-\sqrt{5}}{{e}^{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}}$，
而0＜$\frac{3-\sqrt{5}}{{e}^{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}}$＜$\frac{1}{\sqrt{e}}$，
又k∈Z，故k的最小值是1，
故选：B．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．