Question

20．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，BC=2AD=2DC，四边形ABEF是正方形．将正方形ABEF沿AB折起到四边形ABE₁F₁的位置，使平面ABE₁F₁⊥平面ABCD，M为AF₁的中点，如图2．

（I）求证：AC⊥BM；
（Ⅱ）求平面CE₁M与平面ABE₁F₁所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）只需证明BE₁⊥AC．AC⊥AB且AB，可得AC⊥面ABE₁F₁，AC⊥MB．
（Ⅱ）以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
则A（1，1，0），B（0，0，0），C（2，0，0），E₁（0，0，$\sqrt{2}$），M（1，1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．利用向量求解

解答 解：（Ⅰ）证明四边形ABE₁F₁是正方形，∴BE₁⊥AB．
平面ABE₁F₁⊥平面ABCD，平面ABE₁F₁∩平面ABCD=AB，BE₁?面ABE₁F₁
∴BE₁⊥平面ABCD，
∵AC?平面ABCD，∴BE₁⊥AC．
设AD=1，则AC=AB=$\sqrt{2}$，∴AC⊥AB且AB∩BE₁=B．
∴AC⊥面ABE₁F₁，又MB?面ABE₁F₁∴AC⊥MB．
（Ⅱ）如图以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
则A（1，1，0），B（0，0，0），C（2，0，0），E₁（0，0，$\sqrt{2}$），M（1，1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
由题意得，$\overrightarrow{BM}=（1，1，\frac{\sqrt{2}}{2}）$，$\overrightarrow{C{E}_{1}}=（-2，0，\sqrt{2}）$，$\overrightarrow{{E}_{1}M}=（1，1，-\frac{\sqrt{2}}{2}）$，
设面CE₁M的一个法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{E}_{1}}=-2x+\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{E}_{1}M}=x+y-\frac{\sqrt{2}}{2}z=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}=（1，0，\sqrt{2}）$．
又平面ABE₁F₁得法向量为$\overrightarrow{AC}=（1，-1，0）$．
设平面CE₁M与平面ABE₁F₁所成锐二面角为θ．
cosθ=|cos$＜\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{n}＞$|=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
∴平面CE₁M与平面ABE₁F₁所成锐二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题考查了空间线线垂直的判定，向量法求二面角，转化思想，属于中档题．