Question

已知函数f（x）=x-

x2+ax

ex

（a∈R）．
（1）当a=1时，证明：当x≥0时，f（x）≥0；
（2）当a=-1，证明：（1-

lnx

x

）f（x）＞1-

1

e2

．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）a=1时，令g（x）=e^x-x-1，g'（x）=e^x-1≥0，g（x）≥0，由此能证明当x≥0时，f（x）≥0．
（2）a=-1时，(1-

lnx

x

)f(x)=(x-lnx)(1-

x-1

ex

)，令h（x）=x-lnx，h′(x)=

x-1

x

，由此能证明（1-

lnx

x

）f（x）＞1-

1

e2

．

解答： 证明：（1）a=1时，f(x)=x-

x2+x

ex

=

x

ex

(ex-x-1)，
令g（x）=e^x-x-1，g'（x）=e^x-1≥0，
∴g（x）在[0，+∞）上为增函数…（3分）
g（x）≥g（0）=0，
∴当x≥0时，f(x)=

x

ex

g(x)≥0．…（6分）
（2）a=-1时，(1-

lnx

x

)f(x)=(x-lnx)(1-

x-1

ex

)，
令h（x）=x-lnx，h′(x)=

x-1

x

，
0＜x＜1时，h'（x）＜0，x＞1时，h'（x）＞0
∴h（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，…（9分）
∴h（x）≥h（1）①
令φ（x）=1-

x-1

ex

，ϕ′(x)=

x-2

ex

，
∴0＜x＜2时，φ'（x）＜0，
x＞2时，φ'（x）＞0，
即φ（x）在（0，2）上为减函数，在（2，+∞）上为增函数
∴ϕ(x)≥ϕ(2)=1-

1

e2

②，
∴由①②得(1-

lnx

x

)f(x)=h(x)φ(x)＞1-

1

e2

．…（12分）

点评：本题考查不等式的证明，解题时要认真审题，合理构造函数，注意导数性质的合理运用．