Question

设向量

a

=（4cosα，sinα），

b

=（sinβ，4cosβ），

c

=（cosβ，-4sinβ）．
（1）若

a

•

b

=2

a

•

c

，求tan（α+β）的值；
（2）求|

b

+

c

|的最大值；    
（3）若tanαtanβ=16，求证：

a

∥

b

．

Answer 1

考点：平面向量数量积坐标表示的应用

专题：三角函数的求值,平面向量及应用

分析：（1）由已知条件，利用平面向量的运算法则和三角函数的性质分别求出

a

•

b

和2

a

•

c

，再由二者相等，推导出4sin（α+β）=8cos（α+β），由此能求出tan（α+β）．
（2）先求出

b

+

c

，再利用三角函数的诱导公式和二倍角公式，能求出|

b

+

c

|的最大值．
（3）由tanαtanβ=16，化切为弦推导出

4cosα

sinβ

=

sinα

4cosβ

，由此能证明

a

∥

b

．

解答： 解：（1）∵向量

a

=（4cosα，sinα），

b

=（sinβ，4cosβ），

c

=（cosβ，-4sinβ），
∴

a

•

b

=4sinβcosα+4sinαcosβ=4sin（α+β），
2

a

•

c

=8cosαcosβ-8sinαsinβ=8cos（α+β），
∵

a

•

b

=2

a

•

c

，
∴4sin（α+β）=8cos（α+β），
∴tan（α+β）=

sin(α+β)

cos(α+β)

=

8

4

=2．
（2）∵

b

=（sinβ，4cosβ），

c

=（cosβ，-4sinβ），
∴|

b

+

c

|=（sinβ+cosβ，4cosβ-4sinβ）
=

(sinβ+cosβ)2+(4cosβ-4sinβ)2

=

17-30sinβcosβ

=

17-15sin2β

，
∴当sin2β=-1时，|

b

+

c

|取最大值

17+15

=4

2

．
（3）∵向量

a

=（4cosα，sinα），

b

=（sinβ，4cosβ），
tanαtanβ=16，
∴

sinα

cosα

•

sinβ

cosβ

=16，
∴sinαsinβ=16cosαcosβ，
∴

4cosα

sinβ

=

sinα

4cosβ

，
∴

a

∥

b

．

点评：本题考查向量数量积的运算，考查向量的模的最大值的求法，考查向量平行的证明，解题时要注意三角函数知识的灵活运用．