Question

9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果$\frac{sinB}{sinA}$，$\frac{sinC}{sinA}$，$\frac{cosB}{cosA}$成等差数列，那么角A的值为$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 由已知可得$\frac{2sinC}{sinA}=\frac{sinB}{sinA}+\frac{cosB}{cosA}$，进一步得到sinC=2sinCcosA，求得cosA=$\frac{1}{2}$，结合A的范围得答案．

解答 解：由$\frac{sinB}{sinA}$，$\frac{sinC}{sinA}$，$\frac{cosB}{cosA}$成等差数列，
得$\frac{2sinC}{sinA}=\frac{sinB}{sinA}+\frac{cosB}{cosA}$，
∴sinBcosA+cosBsinA═2sinCcosA，得sin（B+A）=sinC=2sinCcosA，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，∴A=$\frac{π}{3}$．
故答案为：$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式，考查三角函数的化简求值，是中档题．