Question

11．下列命题中错误的是（　　）

• A． ?x∈R，（x+3）（x+7）≤（x+4）（x+6）
• B． ?x∈R，|x-2|+|x+3|=5
• C． ?x∈R，若a≥b，则ax²≥bx²
• D． ?x∈R，$\frac{{{x^2}+3}}{{\sqrt{{x^2}+2}}}$=2

Answer 1

分析 通过展开、结合不等式的性质易知A正确；通过去绝对值符号可得分段函数的解析式，进而可知B正确；利用不等式的两边同时乘以一个正数不等号方向不变可知C正确；通过变形、利用基本不等式可知当$\sqrt{{x}^{2}+2}$=1时$\frac{{{x^2}+3}}{{\sqrt{{x^2}+2}}}$=2，进而可知D不正确．

解答 解：∵（x+3）（x+7）=x²+10x+21，
（x+4）（x+6）=x²+10x+24，
∴A正确；
∵|x-2|+|x+3|=$\left\{\begin{array}{l}{-2x-1，}&{x＜-3}\\{5，}&{-3≤x≤2}\\{2x+1，}&{x＞2}\end{array}\right.$，
∴B正确；
∵a≥b，x²≥0，
∴ax²≥bx²，故C正确；
∵$\frac{{{x^2}+3}}{{\sqrt{{x^2}+2}}}$=$\frac{{x}^{2}+2+1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+2}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$≥2$\sqrt{\sqrt{{x}^{2}+2}•\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}}$=2，
当且仅当$\sqrt{{x}^{2}+2}$=$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$即$\sqrt{{x}^{2}+2}$=1时取等号，
又∵$\sqrt{{x}^{2}+2}$≥$\sqrt{2}$，
∴不存在x∈R，使得$\frac{{{x^2}+3}}{{\sqrt{{x^2}+2}}}$=2，
故D不正确；
故选：D．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．