Question

【题目】已知函数．

（1）若，求函数的单调区间；

（2）若恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）增区间为，减区间为；（2）.

【解析】

（1）将代入函数的解析式，利用导数可得出函数的单调区间；

（2）求函数的导数，分类讨论的范围，利用导数分析函数的单调性，求出函数的最值可判断是否恒成立，可得实数的取值范围．

（1）当时，，

则，

当时，，则，此时，函数为减函数；

当时，，则，此时，函数为增函数.

所以，函数的增区间为，减区间为；

（2），则，

.

①当时，即当时，，

由，得，此时，函数为增函数；

由，得，此时，函数为减函数.

则，不合乎题意；

②当时，即时，

.

不妨设，其中，令，则或.

（i）当时，，

当时，，此时，函数为增函数；

当时，，此时，函数为减函数；

当时，，此时，函数为增函数.

此时，

而，

构造函数，，则，

所以，函数在区间上单调递增，则，

即当时，，所以，.

，符合题意；

②当时，，函数在上为增函数，

，符合题意；

③当时，同理可得函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

此时，则，解得.

综上所述，实数的取值范围是.