Question

18．已知圆O：x²+y²=4交x轴于A，B两点，点P是直线x=4上一点，直线PA，PB分别交圆O于点N，M．
（1）若点N（0，2），求点M的坐标；
（2）探究直线MN是否过定点，若过定点，求出该定点；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）写出直线AN的方程，求出点P的坐标，写出直线BP的方程，由直线BP与圆的方程组成方程组求出点M的坐标；
（2）设出点P，写出直线AN的方程，与圆的方程联立求出点N的坐标，写出直线BM的方程，与圆的方程联立求出点M的坐标，从而求出直线MN过定点．

解答 解：（1）因为点N（0，2），A（-2，0），
所以直线AN的方程为y=x+2，
令x=4，则P（4，6），
又因为B（2，0），
所以直线BP的方程为y=3（x-2），
由y=3（x-2）及x²+y²=4，
解得$M（\frac{8}{5}，-\frac{6}{5}）$；
（2）设P（4，t），因为点A（-2，0），
所以直线AN的方程为$y=\frac{t}{6}（x+2）$，
由$y=\frac{t}{6}（x+2）$及x²+y²=4，解得$N（\frac{{72-2{t^2}}}{{36+{t^2}}}，\frac{24t}{{36+{t^2}}}）$，
因为点B（2，0），所以直线BM的方程为$y=\frac{t}{2}（x-2）$，
由$y=\frac{t}{2}（x-2）$及x²+y²=4，解得$M（\frac{{2{t^2}-8}}{{4+{t^2}}}，\frac{-8t}{{4+{t^2}}}）$，
过定点C（1，0），因为${k_{NC}}=\frac{{\frac{24t}{{36+{t^2}}}}}{{\frac{{72-2{t^2}}}{{36+{t^2}}}-1}}=\frac{8t}{{12-{t^2}}}$，
${k_{MC}}=\frac{{\frac{-8t}{{4+{t^2}}}}}{{\frac{{2{t^2}-8}}{{4+{t^2}}}-1}}=\frac{-8t}{{{t^2}-12}}$，
所以k_NC=k_MC，
所以M，N，C三点共线，
所以直线MN恒过定点C（1，0）．

点评 本题考查了直线与圆的方程的应用问题，也考查了直线过定点的判断问题，考查了数形结合思想的应用问题，是综合性题目．