Question

13．已知A（-2，1），B（1，2），点C为直线y=$\frac{1}{3}$x上的动点，则|AC|+|BC|的最小值为（　　）

• A． $2\sqrt{2}$
• B． $2\sqrt{3}$
• C． $2\sqrt{5}$
• D． $2\sqrt{7}$

Answer 1

分析 由题意可得A、B两点在直线y=$\frac{1}{3}$x上的同侧，求得A关于直线的对称点M的坐标，故当点C为直线BM和直线y=$\frac{1}{3}$x的交点时，|AC|+|BC|的最小值为|BM|．

解答 解：由题意A、B两点在直线y=$\frac{1}{3}$x的同侧．
设A关于直线y=$\frac{1}{3}$x的对称点M的坐标为（a，b），则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b-1}{a+2}•\frac{1}{3}=-1}\\{\frac{1+b}{2}=\frac{1}{3}•\frac{a-2}{2}}\end{array}\right.$，
解得a=-1，b=-2
∴A关于直线的对称点M的坐标为（-1，-2），
故当点C为直线BM和直线y=$\frac{1}{3}$x的交点时，|AC|+|BC|的最小值为|BM|=$\sqrt{（1+1）^{2}+（2+2）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
故选：C．

点评 本题主要考查求一个点关于直线的对称点的坐标，属于中档题．