Question

5．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（-1，0），B（2，3），C（1，2$\sqrt{2}$），且定点P（1，1）．
（1）求△ABC的外接圆的标准方程；
（2）若过定点P的直线与△ABC的外接圆交于E，F两点，求弦EF中点的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）确定△ABC的外接圆圆心为（2，0），半径r=2+1=3，即可求出△ABC外接圆的标准方程；
（2）设弦EF的中点为M，坐标为（x，y），由垂径定理的推论知MN⊥MP，即$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{MP}=0$，由此求弦EF中点的轨迹方程．

解答 解：（1）由题意得AC的中点坐标为$（0，\sqrt{2}）$，${k_{AC}}=\sqrt{2}$，
∴AC中垂线的斜率为$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，直线AC的中垂线的方程为y-$\sqrt{2}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
AB的中点坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），斜率为1，
∴直线AB的中垂线的方程为y-$\frac{3}{2}$=-（x-$\frac{1}{2}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y-\frac{3}{2}=-（x-\frac{1}{2}）}\\{y-\sqrt{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}x}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=0\end{array}\right.$，
∴△ABC的外接圆圆心为（2，0），半径r=2+1=3，
故△ABC外接圆的标准方程为（x-2）²+y²=9
（2）设弦EF的中点为M，坐标为（x，y），△ABC外接圆的圆心N，则N（2，0）
由垂径定理的推论知MN⊥MP，即$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{MP}=0$，
∴（x-2，y）•（x-1，y-1）=0，
故弦EF中点的轨迹方程为${（x-\frac{3}{2}）^2}+{（y-\frac{1}{2}）^2}=\frac{1}{2}$（在已知圆内部）．

点评 本题考查圆的方程，考查垂径定理的推论，考查学生的计算能力，属于中档题．