Question

14．三棱锥A-BCD中，面ABC⊥底面BCD，∠BAC=90°，AB=AC，∠BCD=90°，∠BDC=60°，BC=2a．
（I）求证：平面ABD⊥平面ACD；
（Ⅱ）求二面角A-BD-C的正切值；
（Ⅲ）求三棱锥A-BCD的侧面积和体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出CD⊥AB，AB⊥AC，由此能证明平面ABD⊥平面ACD．
（Ⅱ）取BC中点O，以O为原点，过O作CD的平行线为x轴，OC为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-BD-C的正切值．
（Ⅲ）求出sin$∠ABD=\frac{\sqrt{30}}{6}$，从发明家求出S_△ABD，由此能求出三棱锥A-BCD的侧面积，三棱锥A-BCD的体积V=$\frac{1}{3}×{S}_{△BDC}×AO$，由此能求出结果．

解答 证明：（Ⅰ）∵面ABC⊥底面BCD，∠BCD=90°，面ABC∩面BCD=BC，
∴CD⊥平面ABC，∴CD⊥AB，
∵∠BAC=90°，∴AB⊥AC，
∵AC∩CD=C，
∴平面ABD⊥平面ACD．
解：（Ⅱ）取BC中点O，∵面ABC⊥底面BCD，∠BAC=90°，AB=AC，
∴AO⊥BC，∴AO⊥平面BDC，
以O为原点，过O作CD的平行线为x轴，OC为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，
A（0，0，$\sqrt{2}a$），B（0，-$\sqrt{2}a$，0），D（$\frac{2\sqrt{3}a}{3}$，$\sqrt{2}$a，0），
$\overrightarrow{AB}$=（0，-$\sqrt{2}a$，-$\sqrt{2}a$），$\overrightarrow{AD}$=（$\frac{2\sqrt{3}a}{3}$，$\sqrt{2}a$，-$\sqrt{2}a$），
设平面ABD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=-\sqrt{2}ay-\sqrt{2}az=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=\frac{2\sqrt{3}a}{3}+\sqrt{2}ay-\sqrt{2}az=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{6}$，1，-1），
平面BDC的法向量$\overrightarrow{m}$=（00，1），
设二面角A-BD-C的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{2\sqrt{2}}$，sinθ=$\sqrt{1-（\frac{1}{2\sqrt{2}}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}$，tanθ=$\sqrt{7}$．
∴二面角A-BD-C的正切值为$\sqrt{7}$．
（Ⅲ）AB=$\sqrt{2}$a，BD=$\frac{4\sqrt{3}a}{3}$，OD=$\sqrt{{a}^{2}+\frac{4}{3}{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{21}a}{3}$，AD=$\sqrt{\frac{7{a}^{2}}{3}+{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{30}a}{3}$，
cos∠ABD=$\frac{2{a}^{2}+\frac{16{a}^{2}}{3}-\frac{30}{3}{a}^{2}}{2×\sqrt{2}a×\frac{4\sqrt{3}a}{3}}$=-$\frac{\sqrt{6}}{6}$，sin$∠ABD=\frac{\sqrt{30}}{6}$，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}a×\frac{4\sqrt{3}a}{3}$×$\frac{\sqrt{30}}{6}$=$\frac{2\sqrt{5}{a}^{2}}{3}$，
∴三棱锥A-BCD的侧面积：
S=S_△ADC+S_△ABC+S_△ABD=$\frac{1}{2}×AC×CD+\frac{1}{2}×AB×AC$+$\frac{2\sqrt{5}}{3}{a}^{2}$
=$\frac{1}{2}×\frac{2\sqrt{3}a}{3}×\sqrt{2}a+\frac{1}{2}×\sqrt{2}a×\sqrt{2}a$+$\frac{2\sqrt{5}}{3}{a}^{2}$=$\frac{\sqrt{6}+2\sqrt{5}+3}{3}{a}^{2}$．
三棱锥A-BCD的体积V=$\frac{1}{3}×{S}_{△BDC}×AO$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2a×\frac{2\sqrt{3}a}{3}×a$=$\frac{2\sqrt{3}}{9}{a}^{3}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，考查三棱锥的侧面积和体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．