Question

4．过直线x+2y+5=0上一动点A（A不在y轴上）作焦点为F（2，0）的抛物线y²=2px的两条切线，M，N为切点，直线AM，AN分别与y轴交于点B，C．
（Ⅰ）求证：BF⊥AM，并求△ABC的外接圆面积的最小值；
（Ⅱ）求证：直线MN恒过一定点．

Answer 1

分析 （  I ） 利用抛物线的焦点，可得P=4，求出抛物线y²=8x．设B（0，b），则直线AM为y=k₁x+b，与抛物线y²=8x联立，利用判别式为0，推出k₁k_BF=-1..即BF⊥AM，同理：CF⊥AN，AF为△ABC的外接圆直径，求解△ABC的外接圆面积最小值．
（Ⅱ）设点A（x₀，y₀），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），求出直线AM方程，直线MN方程，通过点A（x₀，y₀）满足：x₀+2y₀+5=0，推出直线MN恒过定点．

解答 证明：（  I ） 焦点为F（2，0）的抛物线y²=2px，可得P=4，抛物线y²=8x．
设B（0，b），则直线AM为y=k₁x+b，与抛物线y²=8x联立，得：k₁²x²+2（2k₁b-8）x+b²=0．
因为相切，所以${△_1}={（2{k_1}b-8）^2}-4k_1^2{b^2}=0$，得：${k_1}=\frac{2}{b}$，又${k_{BF}}=\frac{b-0}{0-2}=-\frac{b}{2}$，所以k₁k_BF=-1．
即BF⊥AM，同理：CF⊥AN，所以AF为△ABC的外接圆的直径，
又因为：${|{AF}|_{min}}=\frac{7}{{\sqrt{5}}}$，
所以△ABC的外接圆面积最小值为：$\frac{49}{20}π$
（Ⅱ）设点A（x₀，y₀），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
易知：直线AM方程为：4x-y₁y+4x₁=0，
代入点A坐标得：4x₀-y₁y₀+4x₁=0，同理：4x₀-y₂y₀+4x₂=0，
所以直线MN方程为：4x-y₀y+4x₀=0，又点A（x₀，y₀）满足：x₀+2y₀+5=0
所以直线MN恒过定点（5，-8）

点评 本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．