Question

14．已知函数f（x）=lnx．
（Ⅰ）求函数f（x）的图象在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）是否存在实数m，使得对任意的$x∈（\frac{1}{2}，+∞）$，都有函数$y=f（x）+\frac{m}{x}$的图象在$g（x）=\frac{e^x}{x}$的图象的下方？若存在，请求出最大整数m的值；若不存在，请说理由．
（参考数据：ln2=0.6931，ln3=1.0986，$\sqrt{e}=1.6487，\root{3}{e}=1.3956$）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；
（Ⅱ）假设存在实数m满足题意，则不等式$lnx+\frac{m}{x}＜\frac{e^x}{x}$对$x∈（\frac{1}{2}，+∞）$恒成立．即m＜e^x-xlnx对$x∈（\frac{1}{2}，+∞）$恒成立．令h（x）=e^x-xlnx，求出导数，令φ（x）=e^x-lnx-1，求出导数，运用函数存在定理，结合基本不等式可得最值，进而得到m的范围和最大整数．

解答 解：（Ⅰ）因为函数f（x）=lnx的导数$f'（x）=\frac{1}{x}$，
所以f′（1）=1，则所求切线的斜率为1，
又f（1）=ln1=0，
故所求切线的方程为y=x-1；
（Ⅱ）假设存在实数m满足题意，
则不等式$lnx+\frac{m}{x}＜\frac{e^x}{x}$对$x∈（\frac{1}{2}，+∞）$恒成立．
即m＜e^x-xlnx对$x∈（\frac{1}{2}，+∞）$恒成立．
令h（x）=e^x-xlnx，则h'（x）=e^x-lnx-1，
令φ（x）=e^x-lnx-1，则$φ'（x）={e^x}-\frac{1}{x}$，
因为φ'（x）在$（\frac{1}{2}，+∞）$上单调递增，
$φ'（\frac{1}{2}）={e^{\frac{1}{2}}}-2＜0$，φ'（1）=e-1＞0，
且φ'（x）的图象在$（\frac{1}{2}，1）$上连续，
所以存在${x_0}∈（\frac{1}{2}，1）$，使得φ'（x₀）=0，即${e^{x_0}}-\frac{1}{x_0}=0$，
则x₀=-lnx₀，
所以当x∈（$\frac{1}{2}$，x₀）时，φ（x）单调递减；
当x∈（x₀，+∞）时，φ（x）单调递增，
则φ（x）取到最小值φ（x₀）=${e}^{{x}_{0}}$-lnx₀-1=x₀+$\frac{1}{{x}_{0}}$-1≥2$\sqrt{{x}_{0}•\frac{1}{{x}_{0}}}$-1=1＞0，
所以h′（x）＞0，即h（x）在区间（$\frac{1}{2}$，+∞）内单调递增．
所以m≤h（$\frac{1}{2}$）=e${\;}^{\frac{1}{2}}$-$\frac{1}{2}$ln$\frac{1}{2}$=e${\;}^{\frac{1}{2}}$+$\frac{1}{2}$ln2=1.99525，
所以存在实数m满足题意，且最大整数m的值为1．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查任意性和存在性问题的解法，注意运用转化思想和构造函数法，求出导数判断单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．