Question

4．实数x，y满足x=$\sqrt{9-{y}^{2}}$，则z=$\frac{y}{x+1}$的取值范围[-3，3]．

Answer 1

分析 把已知方程变形，可得x²+y²=9（x≥0）．画出图形，然后由z=$\frac{y}{x+1}$的几何意义，即半圆x²+y²=9（x≥0）上的动点与定点M（-1，0）连线的斜率求得答案．

解答 解：∵实数x，y满足x=$\sqrt{9-{y}^{2}}$，
∴x≥0，9-y²≥0，则x≥0，-3≤y≤3．
方程x=$\sqrt{9-{y}^{2}}$变形为x²+y²=9（x≥0）．
如图，
z=$\frac{y}{x+1}$的几何意义为半圆x²+y²=9（x≥0）上的动点与定点M（-1，0）连线的斜率．
∵k_MA=-3，k_MB=3，
∴z=$\frac{y}{x+1}$的取值范围为[-3，3]．
故答案为：[-3，3]．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了直线与圆的位置关系的应用，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．