Question

19．设椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1在y轴正半轴上的顶点为M，右焦点为F，延长线段MF与椭圆交于N．
（1）求直线MF的方程；
（2）求$\frac{|MF|}{|FN|}$的值．

Answer 1

分析 （1）通过椭圆方程可知M（0，1）、F（1，0），进而利用两点式可得方程；
（2）联立直线MF与椭圆方程，利用韦达定理可知y_N，利用距离公式或相似比计算即得结论．

解答 解：（1）依题意椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，M（0，1），F（1，0），
∴直线MF的方程为：$\frac{y-0}{x-1}$=$\frac{1-0}{0-1}$，
整理得：x+y-1=0；
（2）联立直线MF与椭圆方程，
消去x整理得：3y²-2y-1=0．
由韦达定理可知：1+y_N=$\frac{2}{3}$，即y_N=-$\frac{1}{3}$，x_N=$\frac{4}{3}$
$\frac{|MF|}{|FN|}$=$\frac{{y}_{M}}{-{y}_{N}}$=$\frac{1}{\frac{1}{3}}$=3．

点评 本题考查椭圆的简单性质，涉及直线方程、三角形面积公式等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．