Question

8．已知圆C：x²+y²=4．
（1）圆C被直线$\sqrt{3}$x+y-2$\sqrt{3}$=0截得的优弧与劣弧弧长之比为1：2；
（2）过点（-3，0）且分圆C所成的两段弧长之比为1：2的直线方程为y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x+3）；；
（3）横截距为-1的直线分圆C所成的优弧与劣弧弧长之比k的取值范围是（1，2]．

Answer 1

分析 （1）确定劣弧所对的圆心角为120°，优弧所对的圆心角为240°，即可求出圆C被直线$\sqrt{3}$x+y-2$\sqrt{3}$=0截得的优弧与劣弧弧长之比；
（2）利用圆心到直线的距离为$\frac{|3k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{3}$，即可得出结论；
（3）由题意，劣弧所对的圆心角最小为120°，最大为180°，即可得出横截距为-1的直线分圆C所成的优弧与劣弧弧长之比k的取值范围．

解答 解：（1）圆心到直线的距离为$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3+1}}$=$\sqrt{3}$，
∵圆的半径为2，
∴劣弧所对的圆心角为120°，
∴优弧所对的圆心角为240°，
∴圆C被直线$\sqrt{3}$x+y-2$\sqrt{3}$=0截得的优弧与劣弧弧长之比为1：2；
（2）由（1）可知劣弧所对的圆心角为120°，圆心到直线的距离为$\sqrt{3}$，
设直线方程为y=k（x+3），即kx-y+3k=0，
∴圆心到直线的距离为$\frac{|3k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{3}$，
∴k=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴直线方程为y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x+3）；
（3）由题意，劣弧所对的圆心角最小为120°，最大为180°，
∴横截距为-1的直线分圆C所成的优弧与劣弧弧长之比k的取值范围是（1，2]．
故答案为：1：2；y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x+3）；（1，2]．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查直线方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．